Τα τόξα είναι μια σημαντική πτυχή της γεωμετρίας, της φυσικής, της τριγωνομετρίας και του σχεδιασμού. Ωστόσο, οι καμπύλες γραμμές είναι πολύ πιο δύσκολο να μετρηθούν από τις ευθείες, γι’ αυτό είναι σημαντικό να γνωρίζουμε Τύπος μήκους τόξου.
Το κλειδί για τον υπολογισμό του μήκους του τόξου είναι να γνωρίζουμε ότι ένα τόξο είναι βασικά ένα κλάσμα ενός ολόκληρου κύκλου και το αντίστοιχο μήκος είναι ένα ίσο κλάσμα της περιφέρειας του κύκλου. Αυτοί οι τύποι υπολογισμών είναι απαραίτητοι εάν θέλετε να σχεδιάσετε μια γέφυρα, να υπολογίσετε την τροχιά ενός πυραύλου ή να κατασκευάσετε ένα τρενάκι.
Διαβάστε παρακάτω για να μάθετε πώς να υπολογίζετε το μήκος του τόξου καθώς και άλλες σημαντικές τιμές όπως η ακτίνα και η γωνία κέντρου.
Ποιος είναι ο τύπος μήκους τόξου;
Ο τύπος για το μήκος του τόξου είναι Μήκος τόξου = γωνία τόξου x ακτίνα τόξου ή Μήκος τόξου = (γωνία μοιρών/360) x 2π x ακτίνα τόξουανάλογα με το αν μετράτε σε ακτίνια ή μοίρες.
Τούτου λεχθέντος, εάν δεν γνωρίζετε ήδη την ακτίνα τόξου ή τον ρόλο του Pi σε αυτήν την κατάσταση, συνεχίστε να κάνετε κύλιση για περισσότερες λεπτομέρειες.
Υπολογίστε το εύρος
Προτού μπορέσουμε να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τον τρόπο υπολογισμού της περιφέρειας, καθώς και τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας και της ακτίνας ενός κύκλου (ή τόξου). Αυτή η σχέση λέγεται ότι ανακαλύφθηκε πριν από πάνω από 2.000 χρόνια από τους αρχαίους Έλληνες, οι οποίοι την περιέγραψαν με το ελληνικό γράμμα π (Πι).
Εάν έχουμε έναν κύκλο σε ένα κομμάτι χαρτί και σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το κέντρο του και προς την άλλη πλευρά, δημιουργούμε αυτό που λέγεται διάμετροςΗ άμεση απόσταση από το κέντρο ονομάζεται ακτίνα κύκλουπου αντιστοιχεί πάντα ακριβώς στο μισό μήκος της διαμέτρου.
Υπολογισμός π
Οι Έλληνες ανακάλυψαν επίσης ότι όταν δημιούργησαν ένα τμήμα γραμμής διαμέτρου από μια χορδή και το τύλιξαν γύρω από την καμπύλη γραμμή του κύκλου, η περιφέρεια (ή το μήκος γύρω από τον κύκλο) ήταν λίγο περισσότερο από τρεις φορές το μήκος της χορδής της χορδής τους.
Έδωσαν σε αυτήν την τιμή το όνομα π (Pi) και υπολόγισαν πιο συγκεκριμένες τιμές για αυτήν την αναλογία.
Η πραγματική τιμή του π χρησιμοποιεί έναν άπειρο, μη επαναλαμβανόμενο αριθμό δεκαδικών ψηφίων, αλλά για τους σκοπούς μας μπορούμε να πούμε ότι το π είναι ίσο με 3,14159. Η ακριβής τιμή του αριθμού δεν είναι τόσο σημαντική, επειδή οι περισσότεροι αριθμομηχανές περιλαμβάνουν ένα κλειδί π με έναν πιο ακριβή αριθμό.
Έχοντας αυτό υπόψη, ο τύπος για τον υπολογισμό της περιφέρειας ενός κύκλου είναι: μήκος διαμέτρου επί μήκος χορδής x π (Dπ). Μπορείτε επίσης να το δείτε να εκφράζεται ως δύο φορές την ακτίνα επί π (2rπ), αλλά το αποτέλεσμα είναι ακριβώς το ίδιο και με τις δύο εκδόσεις του τύπου.
Για παράδειγμα, εάν ένας κύκλος έχει διάμετρο 4 ίντσες, η περιφέρεια είναι:
4 ίντσες x 3,14159 = 12,566 ίντσες
ή, αφού γνωρίζουμε ότι η ακτίνα είναι η μισή της διαμέτρου (4 ίντσες / 2 = 2 ίντσες):
2 xrx π = 2 x 2 σε x 3,14159
2 x 2 ίντσες x 3,14159 = 12,566 ίντσες
Δημιουργήστε ένα τόξο από έναν κύκλο
Όπως είπαμε, ένα τόξο είναι ένα κλάσμα ενός κύκλου και έχει την ίδια ακτίνα με το αντίστοιχο. Αυτά τα δύο γεγονότα είναι τα πιο σημαντικά που πρέπει να έχετε κατά νου όταν προσπαθείτε να υπολογίσετε το μήκος τόξου.
Εφόσον είναι γνωστή η καμπυλότητα ενός τόξου και η θέση του κέντρου είναι γνωστή, μπορούμε να βρούμε το μήκος του τόξου, αν και αυτό μπορεί να απαιτεί πρόσθετα εργαλεία όπως χάρακα και μοιρογνωμόνιο.
Μετρήστε την ακτίνα
Αν γνωρίζουμε το κέντρο του τόξου μας, μπορούμε να βρούμε το μήκος της ακτίνας σχεδιάζοντας δύο ευθύγραμμα τμήματα από την άκρη του τόξου μας προς το κέντρο. Χρησιμοποιήστε έναν χάρακα για να μετρήσετε την ευθεία απόσταση μεταξύ του τόξου και του κέντρου του, και αυτή είναι η ακτίνα μας.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο μετατροπής περιφέρειας για να δούμε ποια θα ήταν η περιφέρεια αν το τόξο μας ήταν ένας πλήρης κύκλος. Ωστόσο, πρώτα πρέπει να προσδιορίσουμε την τιμή θραύσης του τόξου. Για να γίνει αυτό χρειαζόμαστε μια τιμή γωνίας.
Προσδιορίστε τη γωνία του κέντρου
Η κεντρική γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται σχεδιάζοντας τα τμήματα γραμμής ακτίνας που δημιουργήσαμε στο τελευταίο βήμα και αυτή η μέτρηση γωνίας είναι η τελική τιμή που απαιτείται για τον υπολογισμό του μήκους του τόξου.
Εάν δεν υπάρχει γωνία κέντρου που καθορίζεται στο σχολικό σας βιβλίο ή από τον δάσκαλό σας, θα χρειαστεί να σχεδιάσετε δύο ακτίνες στις άκρες του τόξου και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο για να μετρήσετε τη γωνία στο σημείο όπου οι ακτίνες συναντώνται στο κέντρο.
Μπορείτε να κάνετε αυτή τη μέτρηση είτε σε μοίρες είτε σε ακτίνια. Εάν η γωνία του κέντρου είναι μεγαλύτερη από 180 μοίρες (ακτίνια π), μπορεί να θέλετε να μετρήσετε την αντίθετη πλευρά της γωνίας και στη συνέχεια να την εκφράσετε ως τη μέτρησή σας συν 180 μοίρες.
Μοίρες έναντι ακτίνων
Αν και οι μοίρες και τα ακτίνια είναι μονάδες που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση του ίδιου πράγματος, εξυπηρετούν ελαφρώς διαφορετικούς σκοπούς. Ένας βαθμός είναι ίσος με το 1/360 ενός κύκλου, ενώ το ακτίνιο είναι συνάρτηση του λόγου μεταξύ ακτίνας και περιφέρειας. Γι ‘αυτό το λόγο ένα ακτίνιο αντιστοιχεί σε 1/2π.
Ένας πλήρης κύκλος είναι πάντα 2π ακτίνια γιατί, όπως ίσως θυμάστε, η περιφέρεια είναι 2π φορές η ακτίνα του κύκλου. Έχουμε επίσης δύο εύχρηστους τύπους που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εάν χρειαστεί να μετατρέψετε τους βαθμούς σε ακτίνια ή το αντίστροφο.
Τιμή βαθμού × (π/180) = ακτίνια
Ακτίνια × (180/π) = τιμή μοιρών
Κλάσματα κύκλου
Τώρα που γνωρίζουμε ότι η κεντρική γωνία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφράσει ένα κλάσμα ενός κύκλου και ότι η ακτίνα σχετίζεται στενά με το μήκος του τόξου, έχουμε όλα όσα χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε το μήκος τόξου.
Για να φανταστείτε καλύτερα τα κλάσματα ενός κύκλου, φανταστείτε μια γωνία 90 μοιρών (1/2 π ακτίνια) ως τέταρτο κύκλο, 180 μοιρών (π ακτίνια) ως ημικύκλιο και 360 μοιρών (2 π ακτίνια) ως πλήρη κύκλο. Φυσικά, σε πραγματικά παραδείγματα υπάρχουν συχνά κλασματικές τιμές μεταξύ αυτών των μικρών γωνιών.
Θυμηθείτε τον τύπο μήκους τόξου
Μόλις βρείτε την κεντρική γωνία, μπορείτε να τη συνδέσετε στον τύπο περιμέτρου από πριν για να δημιουργήσετε έναν τύπο μήκους τόξου. Για να λάβετε τον τύπο μήκους τόξου σε μοίρες, πάρτε την τιμή της κεντρικής γωνίας, διαιρέστε την με το 360 και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με τον τύπο της περιφέρειάς μας.
Μήκος τόξου = (γωνία μοιρών/360) x 2π x ακτίνα τόξου
Αν υπολογίσετε το μήκος τόξου σε ακτίνια, η διαδικασία είναι λίγο πιο εύκολη. Δεδομένου ότι ένα ακτίνιο είναι ένα κλάσμα του 2π και πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 2π για να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου, τα δύο αλληλοεξουδετερώνονται. Παίρνουμε αυτόν τον τύπο:
Μήκος τόξου = γωνία τόξου x ακτίνα τόξου
Υπολογισμός του μήκους του τόξου
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε όλες αυτές τις πληροφορίες για να αντιμετωπίσουμε ένα πραγματικό πρόβλημα. Ας πάρουμε τον κύκλο μας από το προηγούμενο παράδειγμα με διάμετρο 4 ίντσες (ακτίνα 2 ίντσες) και τον μετατρέψουμε σε κλάσμα του τόξου. Μετρήσαμε την κεντρική γωνία ή τόξο και βρήκαμε ότι είναι 136 μοίρες (2.374 ακτίνια).
Εξάλλου, αυτές είναι όλες οι πληροφορίες που χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε το μήκος του τόξου!
Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο μήκους τόξου για μοίρες: (γωνία μοιρών/360) x 2π x ακτίνα τόξου
136 μοίρες/360 μοίρες = 0,377
Μήκος τόξου = 0,377 x 2π x 2 ίντσες
0,377 x 2π x 2 ίντσες = 4,75 ίντσες
Τώρα μπορούμε να εκτελέσουμε ξανά το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας ακτίνια ως κεντρική γωνία.
Μήκος τόξου = 2.374 ακτίνια x 2 ίντσες
2,374 ακτίνια x 2 ίντσες = 4,75 ίντσες
Όπως μπορείτε να δείτε, ο προσδιορισμός του μήκους του τόξου είναι εύκολος, εφόσον είναι γνωστές η ακτίνα και η γωνία του κέντρου. Ο τύπος μήκους τόξου μας μπορεί να χρησιμοποιηθεί αξιόπιστα για τη μετατροπή τόσο των μοιρών όσο και των ακτίνων και παίρνουμε δύο μήκη τόξου με την ίδια τιμή.
Πρωτότυπο άρθρο: Αναλύοντας τον τύπο μήκους τόξου
Πνευματικά δικαιώματα © 2024 HowStuffWorks, ένα τμήμα της InfoSpace Holdings, LLC, μια εταιρεία System1