Όταν ακούτε τις λέξεις “λογικό” και “παράλογο”, μπορεί να σκεφτείτε τον αδυσώπητα αναλυτικό Σποκ στο “Star Trek”. Ωστόσο, αν είστε μαθηματικός, πιθανότατα σκέφτεστε αναλογίες μεταξύ ακεραίων και τετραγωνικών ριζών.
Στον τομέα των μαθηματικών, όπου οι λέξεις μερικές φορές έχουν συγκεκριμένες σημασίες που διαφέρουν πολύ από την καθημερινή χρήση, η διαφορά είναι μεταξύ της λογικής και της παράλογους αριθμούς δεν έχει να κάνει με συναισθήματα. Δεδομένου ότι υπάρχει άπειρος αριθμός παράλογων αριθμών, καλό θα ήταν να είχατε μια βασική κατανόηση γι’ αυτούς.
Ιδιότητες παράλογων αριθμών
«Όταν θυμάστε τη διαφορά μεταξύ ορθολογικών και παράλογων αριθμών, σκέφτεστε μια λέξη: αναλογία», εξηγεί ο Eric D. Kolaczyk. Είναι καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών και Στατιστικής στο Πανεπιστήμιο της Βοστώνης και διευθυντής του Ινστιτούτου Υπολογιστών και Υπολογιστικής Επιστήμης & Μηχανικής Rafik B. Hariri του πανεπιστημίου.
«Αν μπορείτε να γράψετε έναν αριθμό ως λόγο δύο ακεραίων αριθμών (π.χ. 1 έναντι 10, -5 έναντι 23, 1.543 έναντι 10, κ.λπ.), τότε τον τοποθετούμε στην κατηγορία των ορθολογικών αριθμών», λέει ο Kolaczyk σε ένα E – Ταχυδρομείο. «Διαφορετικά λέμε ότι είναι παράλογο».
Μπορείτε να εκφράσετε είτε έναν ακέραιο αριθμό είτε ένα κλάσμα – μέρη ακέραιων αριθμών – ως αναλογία χρησιμοποιώντας έναν ακέραιο αριθμό, που ονομάζεται αριθμητής, σε έναν άλλο ακέραιο αριθμό, που ονομάζεται παρονομαστής. Διαιρείτε τον παρονομαστή με τον αριθμητή. Αυτό θα σας δώσει έναν αριθμό όπως το 1/4 ή το 500/10 (γνωστό και ως 50).
Παράλογοι αριθμοί: παραδείγματα και εξαιρέσεις
Οι παράλογοι αριθμοί, σε αντίθεση με τους ορθολογικούς αριθμούς, είναι αρκετά περίπλοκοι. Όπως εξηγεί ο Wolfram MathWorld, δεν μπορούν να εκφραστούν με κλάσματα και αν προσπαθήσετε να τα γράψετε ως αριθμό με υποδιαστολή, τα ψηφία απλώς συνεχίζουν και συνεχίζουν χωρίς να σταματήσουν ή να επαναλάβετε ένα μοτίβο.
Ποιοι αριθμοί λοιπόν συμπεριφέρονται τόσο τρελά; Βασικά αυτά που περιγράφουν περίπλοκα πράγματα.
πι
Ίσως ο πιο διάσημος παράλογος αριθμός είναι το pi – μερικές φορές γράφεται ως π, το ελληνικό γράμμα για το “p” – που εκφράζει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρο αυτού του κύκλου. Όπως εξήγησε ο μαθηματικός Steven Bogart σε αυτό το άρθρο του Scientific American του 1999, αυτή η αναλογία θα είναι πάντα ίση με το pi, ανεξάρτητα από το μέγεθος του κύκλου.
Από τότε που οι Βαβυλώνιοι μαθηματικοί προσπάθησαν να υπολογίσουν το pi πριν από σχεδόν 4.000 χρόνια, διαδοχικές γενιές μαθηματικών συνέχισαν να εργάζονται σε αυτό, επινοώντας όλο και μεγαλύτερες ακολουθίες δεκαδικής επέκτασης με μη επαναλαμβανόμενα μοτίβα.
Το 2019, η ερευνήτρια της Google Emma Hakura Iwao κατάφερε να επεκτείνει το Pi στα 31.415.926.535.897 ψηφία.
Μερικές (αλλά όχι όλες) τετραγωνικές ρίζες
Μερικές φορές μια τετραγωνική ρίζα – δηλαδή ένας παράγοντας ενός αριθμού που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, σας δίνει τον αριθμό με τον οποίο ξεκινήσατε – είναι ένας παράλογος αριθμός εκτός εάν είναι τέλειο τετράγωνο, που είναι ακέραιος, όπως για παράδειγμα το 4, τετραγωνική ρίζα 16.
Ένα από τα πιο εντυπωσιακά παραδείγματα είναι η τετραγωνική ρίζα του 2, που ισούται με 1,414 συν μια ατελείωτη σειρά από μη επαναλαμβανόμενα ψηφία. Αυτή η τιμή αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου μέσα σε ένα τετράγωνο, όπως περιγράφεται για πρώτη φορά από τους αρχαίους Έλληνες στο Πυθαγόρειο θεώρημα.
Γιατί χρησιμοποιούμε τις λέξεις «λογικό» και «παράλογο»;
«Στην πραγματικότητα, τυπικά χρησιμοποιούμε «ορθολογικό» για να σημαίνει κάτι που βασίζεται περισσότερο στη λογική ή κάτι παρόμοιο», λέει ο Kolaczyk. «Η χρήση του στα μαθηματικά φαίνεται να εμφανίστηκε σε βρετανικές πηγές ήδη από τον 13ο αιώνα (σύμφωνα με το Oxford English Dictionary). Αν ανιχνεύσετε τόσο τον «ορθολογικό» και τον «λόγο» πίσω στις λατινικές τους ρίζες, θα διαπιστώσετε ότι και στις δύο περιπτώσεις… η «ρίζα» αφορά σε γενικές γραμμές την «επιχειρηματολογία».
Το πιο σαφές είναι ότι τόσο οι παράλογοι όσο και οι λογικοί αριθμοί έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην πρόοδο του πολιτισμού.
Ενώ η γλώσσα πιθανότατα χρονολογείται από την αυγή του ανθρώπινου είδους, οι αριθμοί ήρθαν πολύ αργότερα, λέει ο Mark Zegarelli, καθηγητής μαθηματικών και συγγραφέας που έχει γράψει 10 βιβλία στη σειρά “For Dummies”. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες, λέει, πιθανότατα δεν χρειάζονταν μεγάλη αριθμητική ακρίβεια, εκτός από την ικανότητα χονδρικής εκτίμησης και σύγκρισης ποσοτήτων.
«Χρειάζονταν έννοιες όπως «Τελειώσαμε τα μήλα»», λέει ο Zegarelli. «Δεν χρειαζόταν να ξέρουν, «Έχουμε ακριβώς 152 μήλα»».
Αλλά καθώς οι άνθρωποι άρχισαν να χαράζουν γη για να χτίζουν αγροκτήματα, να χτίζουν πόλεις και να κατασκευάζουν και να εμπορεύονται αγαθά, μετακινούμενοι όλο και πιο μακριά από τα σπίτια τους, χρειάζονταν πιο πολύπλοκα μαθηματικά.
«Ας υποθέσουμε ότι χτίζετε ένα σπίτι με στέγη όπου η κλίση είναι το ίδιο μήκος με την απόσταση από τη βάση μέχρι το υψηλότερο σημείο», λέει ο Kolaczyk. «Πόση είναι η απόσταση της ίδιας της επιφάνειας της οροφής από το πάνω άκρο μέχρι το εξωτερικό άκρο; Πάντα συντελεστής της τετραγωνικής ρίζας 2 της κλίσης (τρέξιμο). Και αυτός είναι επίσης ένας παράλογος αριθμός».
Ο ρόλος των παράλογων αριθμών στη σύγχρονη κοινωνία
Σύμφωνα με την Carrie Manore, οι παράλογοι αριθμοί συνεχίζουν να παίζουν καθοριστικό ρόλο στον τεχνολογικά προηγμένο 21ο αιώνα. Είναι επιστήμονας και μαθηματικός στην Ομάδα Πληροφοριακών Συστημάτων και Μοντελοποίησης στο Εθνικό Εργαστήριο του Λος Άλαμος.
«Το Pi είναι προφανώς ο πρώτος παράλογος αριθμός για τον οποίο μιλάμε», λέει η Manore μέσω email. «Το χρειαζόμαστε για να καθορίσουμε την περιοχή και την περιφέρεια των κύκλων. Είναι ζωτικής σημασίας για τον υπολογισμό των γωνιών και οι γωνίες είναι ζωτικής σημασίας για την πλοήγηση, την κατασκευή, την τοπογραφία, τη μηχανική και πολλά άλλα. Η επικοινωνία ραδιοσυχνοτήτων εξαρτάται από το ημιτονοειδές και συνημίτονο, στα οποία εμπλέκεται ο Pi.
Επιπλέον, οι παράλογοι αριθμοί παίζουν βασικό ρόλο στα πολύπλοκα μαθηματικά που επιτρέπουν τη διαπραγμάτευση μετοχών υψηλής συχνότητας, τη μοντελοποίηση, την πρόβλεψη και τις περισσότερες στατιστικές αναλύσεις – όλες οι δραστηριότητες που κρατούν την κοινωνία μας σε λειτουργία.
«Στην πραγματικότητα», προσθέτει η Manore, «στον σύγχρονο κόσμο μας είναι σχεδόν λογικό να ρωτάμε, «Πού είναι οι παράλογοι αριθμοί;»». δεν να χρησιμοποιηθεί;'”
Αυτό το άρθρο ενημερώθηκε σε συνδυασμό με την τεχνολογία AI, στη συνέχεια ελέγχθηκε και επεξεργάστηκε από έναν επεξεργαστή HowStuffWorks.
Τώρα αυτό είναι ενδιαφέρον
Υπολογιστικά, «σχεδόν πάντα χρησιμοποιούμε προσεγγίσεις αυτών των παράλογων αριθμών για να λύσουμε προβλήματα», εξηγεί ο Manore. «Αυτές οι προσεγγίσεις είναι λογικές γιατί οι υπολογιστές μπορούν να υπολογίσουν μόνο με έναν ορισμένο βαθμό ακρίβειας. Ενώ η έννοια των παράλογων αριθμών είναι πανταχού παρούσα στην επιστήμη και τη μηχανική, θα μπορούσε κανείς να υποστηρίξει ότι στην πράξη δεν χρησιμοποιούμε ποτέ έναν αληθινό παράλογο αριθμό».
Πρωτότυπο άρθρο: Διαφορές μεταξύ ορθολογικών και παράλογων αριθμών
Πνευματικά δικαιώματα © 2023 HowStuffWorks, ένα τμήμα της InfoSpace Holdings, LLC, μια εταιρεία System1