Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες, γνωστές και ως Ενεργοποιούν ταυτότητες ή οι ταυτότητες τριγώνου είναι εξισώσεις με τριγωνομετρικές συναρτήσεις που ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή αντικαθιστάτε στις μεταβλητές τους.
Αυτές οι ταυτότητες είναι απαραίτητα εργαλεία κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και την εκτέλεση σύνθετων υπολογισμών στα μαθηματικά, τη φυσική ή τη μηχανική. Η κατανόηση όλων των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων μπορεί να σας βοηθήσει να απλοποιήσετε φαινομενικά περίπλοκα προβλήματα, ειδικά στη γεωμετρία και την ανάλυση.
Τα βασικά της τριγωνομετρίας
Η τριγωνομετρία είναι κλάδος των μαθηματικών. Στην καρδιά της τριγωνομετρίας βρίσκονται οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, οι οποίες συσχετίζουν τις γωνίες ενός τριγώνου με τους λόγους των πλευρών του.
Οι πιο βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη, τις οποίες οι εκπαιδευτές διδάσκουν συχνά χρησιμοποιώντας το μνημονικό SOH-CAH-TOA σε ορθογώνια τρίγωνα.
Από αυτές τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις εξάγουμε άλλες κρίσιμες συναρτήσεις όπως η τέμνουσα, η συνεφαπτομένη και η συνεφαπτομένη, που όλες παίζουν κρίσιμο ρόλο στην περαιτέρω ανάπτυξη της τριγωνομετρικής θεωρίας.
Μπορεί να ακούσετε τους ανθρώπους να αναφέρονται στο ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη, τέμνουσα, συνεφαπτομένη και συνεφαπτομένη ως οι έξι τριγωνομετρικοί λόγοι ή τριγωνομετρικοί λόγοι.
Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο των ανώτερων μαθηματικών. Συνοψίζουν όλους τους τριγωνομετρικούς λόγους και τις σχέσεις σε ένα πλαίσιο που βελτιώνει την επίλυση εξισώσεων και την κατανόηση των γεωμετρικών και αλγεβρικών εννοιών.
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες περιλαμβάνουν ένα ευρύ φάσμα τύπων, αλλά γενικά ομαδοποιούνται σε κατηγορίες με βάση τις συγκεκριμένες εφαρμογές και τις μορφές τους.
Υπάρχουν τρεις κύριες κατηγορίες που περιλαμβάνουν οκτώ βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Αυτές οι κατηγορίες περιλαμβάνουν αμοιβαίες ταυτότητες, Πυθαγόρειες ταυτότητες και ταυτότητες πηλίκου.
Αμοιβαίες ταυτότητες
Αυτές οι ταυτότητες εκφράζουν τις βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις μέσω των αμοιβαίων συναρτήσεων τους:
-
Ημιτονική και συνοδευτική:csc(θ) = 1/αμαρτία(θ)
-
Συνημίτονο και τομή: sec(θ) = 1/cos(θ)
-
Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη: κούνια(θ) = 1/μαύρισμα(θ)
Πυθαγόρειες ταυτότητες
Οι Πυθαγόρειες τριγωνομετρικές ταυτότητες προέρχονται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωστό και ως Πυθαγόρειο θεώρημα, από τον Έλληνα μελετητή που διατύπωσε τη μαθηματική πρόταση.
Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που βασίζονται στο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι θεμελιώδεις για τη σύνδεση των τετραγώνων των πρωτογενών τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
-
Βασική Πυθαγόρεια Ταυτότητα: Αμαρτία2(θ) + κοσ2(θ) = 1
-
Προέρχεται για εφαπτομένη: 1 + καφέ2(θ) = δευτ2(θ)
-
Προέρχεται για συνεφαπτομένη: κούνια2(θ) + 1 = csc2(θ)
Ποσοτικές ταυτότητες
Αυτές οι ταυτότητες συνδέουν τις συναρτήσεις μέσω διαίρεσης:
Φυσικά, πέρα από αυτές τις βασικές ταυτότητες, υπάρχουν πολλές περισσότερες τριγωνομετρικές ταυτότητες που ισχύουν σε συγκεκριμένα σενάρια, όπως: Β. Διπλή γωνία, τριπλή γωνία, μισή γωνία και ταυτότητες αθροίσματος και διαφοράς.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες διπλής γωνίας
Οι τύποι διπλής γωνίας είναι τριγωνομετρικές ταυτότητες που εκφράζουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις διπλών γωνιών – δηλαδή γωνίες της μορφής 2θ — σε σχέση με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μεμονωμένων γωνιών (θ).
Αυτοί οι τύποι είναι κρίσιμοι σε διάφορους μαθηματικούς υπολογισμούς και μετασχηματισμούς, ειδικά στην ανάλυση, τη γεωμετρία και την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Οι κύριοι τύποι διπλής γωνίας περιλαμβάνουν εκείνους για το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη.
Τύπος συνημιτόνου διπλής γωνίας
Ο τύπος συνημιτόνου διπλής γωνίας είναι:
cos(2θ) = κοσ2(θ) – αμαρτία2(θ)
Μπορείτε επίσης να το αναπαραστήσετε σε δύο εναλλακτικές μορφές χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια ταυτότητα αμαρτία2(θ) + κοσ2(θ) = 1:
cos(2θ) = 2κοσ2(θ) – 1
2κοσ2(θ) – 1 = 1 – 2 αμαρτία2(θ)
Ημιτονοειδής τύπος διπλής γωνίας
Ο τύπος ημιτονοειδούς διπλής γωνίας είναι:
Αμαρτία (2θ) = 2 αμαρτία (θ)cos(θ)
Αυτός ο τύπος προέρχεται από τις ταυτότητες αθροίσματος και είναι κατάλληλος για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν προϊόντα ημιτόνων και συνημιτόνων.
Τύπος εφαπτομένης διπλής γωνίας
Ο τύπος της εφαπτομένης διπλής γωνίας είναι:
καφέ (2θ) = (2 tan(θ))/(1 – καφέ2(θ))
Αυτή η έκφραση προκύπτει διαιρώντας τον τύπο διπλής γωνίας ημιτόνου με τον τύπο διπλής γωνίας συνημιτόνου και απλοποιώντας τον ορισμό της εφαπτομένης.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες με τρεις γωνίες
Αν και χρησιμοποιούνται λιγότερο συχνά, οι τύποι τριών γωνιών παρέχουν συντομεύσεις σε ορισμένες καταστάσεις, όπως ορισμένα ολοκληρώματα και πολυωνυμικές εξισώσεις. Πρόκειται για ταυτότητες που επιτρέπουν τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης τριπλάσιας μιας δεδομένης γωνίας (3θ) χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της ίδιας της γωνίας (θ).
Για παράδειγμα, ο τύπος για την ημιτονοειδή τριπλή γωνία είναι:
Αμαρτία (3θ) = 3 αμαρτία (θ) – 4 αμαρτία3(θ)
Αυτός ο τύπος προκύπτει χρησιμοποιώντας τον τύπο ημιτονικής διπλής γωνίας και την ταυτότητα αθροίσματος γωνίας.
Οι τύποι τριπλής γωνίας μπορούν να προκύψουν από ταυτότητες διπλής γωνίας και αθροίσματος και είναι χρήσιμοι σε ορισμένα μαθηματικά και μηχανικά πλαίσια, όπως η απλοποίηση σύνθετων τριγωνομετρικών εκφράσεων ή η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων υψηλότερου βαθμού.
Ταυτότητες μισής γωνίας
Οι ταυτότητες μισής γωνίας είναι τριγωνομετρικοί τύποι που σας επιτρέπουν να αποδείξετε τριγωνομετρικές ταυτότητες για το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη του μισού μιας δεδομένης γωνίας.
Οι τύποι μισής γωνίας είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, την ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων και την απλοποίηση εκφράσεων όταν η εμπλεκόμενη γωνία μειώνεται στο μισό. Οι τύποι μισής γωνίας προέρχονται από τις ταυτότητες διπλής γωνίας και άλλες βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.
Οι ταυτότητες ημιγωνίας για ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη χρησιμοποιούν τους ακόλουθους τύπους ημιγωνίας:
-
Ταυτότητα ημιτονοειδούς μισής γωνίας: αμαρτία(θ/2) = ±√((1 – συνθ)/2)
-
Ταυτότητα μισής γωνίας συνημιτόνου: γιατί(θ/2) = ±√((1 + συνθ)/2)
-
Ταυτότητα της εφαπτομενικής μισής γωνίας: καφέ(θ/2) = αμαρτία(θ)/(1 + συν(θ)) = 1 – (συν(θ)/Αμαρτία(θ))
Για τους τύπους ημιτονοειδούς και συνημιτόνου μισής γωνίας, το πρόσημο εξαρτάται από ποιο τεταρτημόριο θ/2 ψέματα. Ο τύπος της εφαπτομένης μισής γωνίας μπορεί επίσης να εκφραστεί απευθείας με ημίτονο και συνημίτονο.
Αυτές οι ταυτότητες προέρχονται από τον χειρισμό των ταυτοτήτων διπλής γωνίας. Για παράδειγμα, η ταυτότητα διπλής γωνίας συνημιτόνου cos(2θ) = 2κοσ2(θ) μπορεί να αναδιαταχθεί για να εκφραστεί cos2(θ) με αναφορά σε cos(2θ)και στη συνέχεια παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα (και ρυθμίζοντας το πρόσημο με βάση το τεταρτημόριο της γωνίας) δίνεται ο τύπος μισής γωνίας για το συνημίτονο.
Οι ταυτότητες μισής γωνίας είναι ζωτικής σημασίας για την απλούστευση της ολοκλήρωσης των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ειδικά όταν τα ολοκληρωτικά όρια περιλαμβάνουν το pi (π) ή όταν ενσωματώνονται περιοδικές συναρτήσεις. Παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας στους οποίους αναλύονται οι κυματικές λειτουργίες και οι δονήσεις.
Ταυτότητες αθροίσματος και διαφοράς
Οι ταυτότητες αθροίσματος στην τριγωνομετρία είναι βασικοί τύποι που επιτρέπουν τον υπολογισμό του ημιτόνου, του συνημιτόνου και της εφαπτομένης του αθροίσματος δύο γωνιών. Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους διαφοράς για να υπολογίσετε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη της διαφοράς μεταξύ δύο γωνιών.
Αυτές οι ταυτότητες είναι απίστευτα χρήσιμες για την απλοποίηση εκφράσεων, την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων και την εκτέλεση πολύπλοκων υπολογισμών.
Δημιουργήσαμε αυτό το άρθρο σε συνδυασμό με την τεχνολογία AI και, στη συνέχεια, βεβαιωθήκαμε ότι ελέγχθηκε και επεξεργάστηκε από έναν επεξεργαστή HowStuffWorks.
Πρωτότυπο άρθρο: Trig Identities: A crash course σε περίπλοκες μαθηματικές έννοιες
Πνευματικά δικαιώματα © 2024 HowStuffWorks, ένα τμήμα της InfoSpace Holdings, LLC, μια εταιρεία System1