Το Curious Kids είναι μια σειρά για παιδιά όλων των ηλικιών. Εάν έχετε κάποια ερώτηση που θα θέλατε να απαντήσει ένας ειδικός, στείλτε την στη διεύθυνση curiouskidsus@theconversation.com.
Γιατί δεν τελειώνουν οι αριθμοί; – Reyhane, 7 ετών, Τεχεράνη, Ιράν
Εδώ είναι ένα παιχνίδι: ζητήστε από έναν φίλο να σας δώσει έναν αριθμό και θα λάβετε ένα μεγαλύτερο σε αντάλλαγμα. Απλώς προσθέστε «1» στον αριθμό που θα βρείτε και είναι σίγουρο ότι θα κερδίσετε.
Ο λόγος για αυτό είναι ότι οι αριθμοί συνεχίζονται για πάντα. Δεν υπάρχει μέγιστος αριθμός. Μα γιατί? Ως καθηγητής μαθηματικών, μπορώ να σας βοηθήσω να βρείτε μια απάντηση.
Πρώτα, πρέπει να καταλάβετε τι είναι οι αριθμοί και από πού προέρχονται. Έμαθες για τους αριθμούς γιατί σου επέτρεπαν να μετράς. Οι πρώτοι άνθρωποι είχαν παρόμοιες ανάγκες, είτε ήταν να μετρούν τα ζώα που σκοτώθηκαν ενώ κυνηγούσαν είτε να παρακολουθούν πόσες μέρες είχαν περάσει. Γι’ αυτό επινόησαν τους αριθμούς.
Αλλά τότε οι αριθμοί ήταν αρκετά περιορισμένοι και είχαν πολύ απλή μορφή. Συχνά οι «αριθμοί» ήταν απλώς εγκοπές σε ένα κόκαλο, που αριθμούσαν μερικές εκατοντάδες το πολύ.
Καθώς οι αριθμοί μεγάλωναν
Με τον καιρό, οι ανάγκες των ανθρώπων αυξάνονταν. Έπρεπε να καταμετρηθούν τα κοπάδια των ζώων, να γίνει εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών και να γίνουν μετρήσεις για τα κτίρια και τη ναυτιλία. Αυτό οδήγησε στην εφεύρεση μεγαλύτερων αριθμών και καλύτερων τρόπων αναπαράστασής τους.
Πριν από περίπου 5.000 χρόνια, οι Αιγύπτιοι άρχισαν να χρησιμοποιούν σύμβολα για διάφορους αριθμούς, με πιο πρόσφατα ένα εκατομμύριο. Δεδομένου ότι συνήθως δεν συναντούσαν μεγαλύτερες ποσότητες, χρησιμοποίησαν επίσης το ίδιο τελικό σύμβολο για να αναπαραστήσουν «πολλά».
Οι Έλληνες, ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα, ήταν οι πρώτοι που μελέτησαν τους αριθμούς για χάρη τους, αντί να τους βλέπουν απλώς ως εργαλεία μέτρησης. Ως κάποιος που έγραψε ένα βιβλίο για τη σημασία των αριθμών, δεν μπορώ να τονίσω αρκετά πόσο σημαντικό ήταν αυτό το βήμα για την ανθρωπότητα.
Γύρω στο 500 π.Χ. Μέχρι το 400 π.Χ., ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του είχαν συνειδητοποιήσει όχι μόνο ότι οι αριθμοί μέτρησης —1, 2, 3, κ.λπ.— ήταν ατελείωτοι, αλλά και ότι μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να εξηγήσουν ωραία πράγματα, όπως τους ήχους που ακούγονται όταν κόβεται μια τεντωμένη χορδή.
Το μηδέν είναι ένας κρίσιμος αριθμός
Αλλά υπήρχε ένα πρόβλημα. Αν και οι Έλληνες μπορούσαν διανοητικά να φανταστούν πολύ μεγάλους αριθμούς, δυσκολεύονταν να τους γράψουν. Αυτό έγινε επειδή δεν ήξεραν τον αριθμό 0.
Θυμηθείτε πόσο σημαντικό είναι το μηδέν στην αναπαράσταση μεγάλων αριθμών. Μπορείτε να ξεκινήσετε με το 1 και στη συνέχεια να προσθέσετε όλο και περισσότερα μηδενικά στο τέλος για να λάβετε γρήγορα αριθμούς όπως ένα εκατομμύριο – 1.000.000 ή 1 ακολουθούμενο από έξι μηδενικά – ή ένα δισεκατομμύριο με εννέα μηδενικά ή ένα τρισεκατομμύριο με 12 μηδενικά.
Μόλις γύρω στο 1200 μ.Χ., το μηδέν, που εφευρέθηκε αιώνες νωρίτερα στην Ινδία, ήρθε στην Ευρώπη. Αυτό οδήγησε στον τρόπο που γράφουμε αριθμούς σήμερα.
Αυτή η σύντομη ιστορία καθιστά σαφές ότι οι αριθμοί έχουν αναπτυχθεί εδώ και χιλιάδες χρόνια. Και ενώ οι Αιγύπτιοι δεν είχαν πολλή χρήση για ένα εκατομμύριο, εμείς σίγουρα έχουμε. Οι οικονομολόγοι θα σας πουν ότι οι κρατικές δαπάνες συνήθως μετρώνται σε εκατομμύρια δολάρια.
Επιπλέον, η επιστήμη μας έχει φέρει σε ένα σημείο όπου χρειαζόμαστε ακόμη μεγαλύτερους αριθμούς. Για παράδειγμα, υπάρχουν περίπου 100 δισεκατομμύρια αστέρια στον γαλαξία μας – ή 100.000.000.000 – και ο αριθμός των ατόμων στο σύμπαν μας μπορεί να είναι τόσο υψηλός όσο 1 ακολουθούμενο από 82 μηδενικά.
Μην ανησυχείτε αν δυσκολεύεστε να φανταστείτε τόσο μεγάλους αριθμούς. Είναι εντάξει να τους θεωρούμε απλώς «πολλούς», όπως οι Αιγύπτιοι αντιμετώπισαν αριθμούς πάνω από ένα εκατομμύριο. Αυτά τα παραδείγματα δείχνουν έναν λόγο για τον οποίο οι αριθμοί πρέπει να συνεχίζονται επ’ αόριστον. Αν είχαμε ένα μέγιστο, σίγουρα θα το ξεπερνούσαμε μέσω κάποιας νέας χρήσης ή ανακάλυψης.
Εξαιρέσεις στον κανόνα
Αλλά υπό ορισμένες συνθήκες, οι αριθμοί μερικές φορές έχουν ένα μέγιστο, επειδή οι άνθρωποι τους σχεδιάζουν έτσι για πρακτικούς λόγους.
Ένα καλό παράδειγμα είναι ένα ρολόι – ή αριθμητική του ρολογιού, όπου χρησιμοποιούμε μόνο τους αριθμούς 1 έως 12. Δεν υπάρχει 13:00 γιατί μετά τις 12:00 επιστρέφουμε στη 1 η ώρα. Αν έπαιζες το παιχνίδι με το ρολόι Bigger Numbers με έναν φίλο, θα έχανες αν διάλεγε τον αριθμό 12.
Εφόσον οι αριθμοί είναι ανθρώπινη εφεύρεση, πώς μπορούμε να τους σχεδιάσουμε έτσι ώστε να διατηρούνται επ’ αόριστον; Οι μαθηματικοί άρχισαν να αντιμετωπίζουν αυτό το ερώτημα στις αρχές του 20ου αιώνα. Κατέληξαν σε δύο υποθέσεις: το 0 είναι ο αρχικός αριθμός και η προσθήκη 1 σε οποιονδήποτε αριθμό οδηγεί πάντα σε έναν νέο αριθμό.
Αυτές οι παραδοχές μας δίνουν αμέσως τη λίστα με τους αριθμούς μέτρησης: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3 κ.λπ., μια εξέλιξη που συνεχίζεται ατελείωτα.
Ίσως αναρωτιέστε γιατί αυτοί οι δύο κανόνες είναι υποθέσεις. Ο λόγος για το πρώτο είναι ότι δεν ξέρουμε πραγματικά πώς να ορίσουμε τον αριθμό 0. Για παράδειγμα: Είναι το “0” το ίδιο με το “τίποτα” και αν ναι, τι ακριβώς εννοείται με το “τίποτα”;
Το δεύτερο μπορεί να φαίνεται ακόμα πιο παράξενο. Τέλος, μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι προσθέτοντας το 1 στο 2 δίνεται ο νέος αριθμός 3, όπως η προσθήκη 1 στο 2002 δίνει τον νέο αριθμό 2003.
Αλλά σημειώστε ότι λέμε ότι αυτό πρέπει να ισχύει για κάθε αριθμό. Δεν μπορούμε να το ελέγξουμε αυτό ακριβώς για κάθε μεμονωμένη περίπτωση, καθώς θα υπάρχει άπειρος αριθμός περιπτώσεων. Ως άνθρωποι που μπορούμε να ολοκληρώσουμε μόνο έναν περιορισμένο αριθμό βημάτων, πρέπει πάντα να είμαστε προσεκτικοί όταν κάνουμε ισχυρισμούς για μια ατελείωτη διαδικασία. Και ιδιαίτερα οι μαθηματικοί αρνούνται να θεωρήσουν οτιδήποτε δεδομένο.
Να λοιπόν η απάντηση στο ερώτημα γιατί οι αριθμοί δεν τελειώνουν: οφείλεται στον τρόπο που τους ορίζουμε.
Τώρα στους αρνητικούς αριθμούς
Πώς ταιριάζουν οι αρνητικοί αριθμοί -1, -2, -3 και περισσότεροι σε όλα αυτά; Ιστορικά, οι άνθρωποι ήταν πολύ καχύποπτοι με τέτοιους αριθμούς, επειδή είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ένα μήλο ή ένα πορτοκάλι με «μείον ένα». Μέχρι το 1796, τα σχολικά βιβλία των μαθηματικών προειδοποιούσαν για τη χρήση αρνητικών.
Τα αρνητικά δημιουργήθηκαν για να διορθώσουν ένα πρόβλημα υπολογισμού. Οι θετικοί αριθμοί είναι καλοί όταν τους προσθέτετε μαζί. Αλλά όταν πρόκειται για αφαίρεση, δεν μπορούν να χειριστούν διαφορές όπως 1 μείον 2 ή 2 μείον 4. Αν θέλετε να αφαιρέσετε αριθμούς κατά βούληση, χρειάζεστε και αρνητικούς αριθμούς.
Ένας απλός τρόπος για να δημιουργήσετε αρνητικά είναι να φανταστείτε ότι όλοι οι αριθμοί – 0, 1, 2, 3 και οι υπόλοιποι – σχεδιάζονται σε ίσες αποστάσεις σε μια ευθεία γραμμή. Τώρα φανταστείτε έναν καθρέφτη τοποθετημένο στο 0. Στη συνέχεια, ορίστε το -1 ως την αντανάκλαση του +1 στη γραμμή, το -2 ως την ανάκλαση του +2 και ούτω καθεξής. Με αυτόν τον τρόπο παίρνετε όλους τους αρνητικούς αριθμούς.
Ως μπόνους, γνωρίζετε επίσης ότι οι αρνητικοί αριθμοί πρέπει να συνεχίζονται για πάντα, καθώς υπάρχουν τόσοι αρνητικοί αριθμοί όσοι και θετικοί!
Γεια σας, περίεργα παιδιά! Έχετε κάποια ερώτηση που θα θέλατε να απαντήσει ένας ειδικός; Ζητήστε από έναν ενήλικα να στείλει την ερώτησή σας στο CuriousKidsUS@theconversation.com. Πείτε μας το όνομά σας, την ηλικία σας και την πόλη όπου ζείτε.
Και επειδή η περιέργεια δεν έχει όριο ηλικίας – ενήλικες, πείτε μας τι αναρωτιέστε κι εσείς. Δεν θα είμαστε σε θέση να απαντήσουμε σε κάθε ερώτηση, αλλά θα κάνουμε το καλύτερο δυνατό.
Αυτό το άρθρο αναδημοσιεύτηκε από το The Conversation, έναν μη κερδοσκοπικό, ανεξάρτητο ειδησεογραφικό οργανισμό που σας φέρνει γεγονότα και αναλύσεις για να σας βοηθήσει να κατανοήσετε τον περίπλοκο κόσμο μας.
Το έγραψε ο: Manil Suri, Πανεπιστήμιο του Μέριλαντ, Κομητεία της Βαλτιμόρης.
Διαβάστε περισσότερα:
Η Manil Suri δεν εργάζεται, δεν συμβουλεύει, δεν κατέχει μετοχές ή δεν λαμβάνει χρηματοδότηση από οποιαδήποτε εταιρεία ή οργανισμό που θα επωφεληθεί από αυτό το άρθρο και δεν έχει αποκαλύψει σχετικές σχέσεις πέρα από την ακαδημαϊκή τους απασχόληση.